Erdős-Borweinova konstanta je vsota obratnih vrednosti Mersennovih števil. Imenuje se po Paulu Erdősu in Petru Borweinu.
Po definiciji velja (OEIS A065442):
![{\displaystyle E_{\rm {B}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1{,}60669\,51524\,15291\,76378\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc02e1e57151f35049213ff5b1b3d83fe4c3049d)
Dokazati je moč, da so naslednje oblike ekvivalentne prejšnji:
![{\displaystyle E_{\rm {B}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5acf786069b048915b02249512304c05187e8b)
![{\displaystyle E_{\rm {B}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220edaae7574e1fd09176d336d760041233e89d8)
![{\displaystyle E_{\rm {B}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{2^{n}}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a89d9b21074bf629b0a089efa90b221341c5b4)
![{\displaystyle E_{\rm {B}}=1-{\frac {\psi _{1/2}(1)}{\ln 2}}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680961ce8a9acf4fed2cb845235c972f93235b87)
Tu
predstavlja aritmetično multiplikativno funkcijo, število pozitivnih deliteljev števila
,
pa funkcijo q-poligama.
Erdős je leta 1948 dokazal, da je konstanta EB iracionalno število. Borwein pa je leta 1992 dokazal naprej, da je:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{q^{n}-r}}\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6470b6e9f95fc477b28363855ebe979fb1c60b9)
iracionalno število pri
.
Neskončni verižni ulomek konstante je [1; 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 7, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 1, ...]
Sorodna konstanta je (OEIS A173898):
![{\displaystyle {\begin{aligned}K&=\sum _{M_{n}\in \mathbb {P} }^{\infty }{\frac {1}{M_{n}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{127}}+{\frac {1}{8191}}+{\frac {1}{131071}}+{\frac {1}{524287}}+{\frac {1}{2147483647}}\dots \\&\approx 0{,}51645\,41789\,40788\,56533\dots \!\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d9319336d9b3431aa86a027b49a8a0b7b524e3)
kjer nastopajo Mersennova praštevila in, ki je verjetno tudi iracionalno število.
Razmerje med konstantama je enako:
![{\displaystyle {\frac {E_{\rm {B}}}{K}}\approx 3{,}11101\,20082\,87959\,36235...\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cef0ea48032f3564cf796e760b8a23e23583c7)