Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Graf funkcije Γ na realni premici
Absolutna vrednost funkcije Γ v kompleksni ravnini
Razširjena različica funkcije Γ v kompleksni ravnini
Fúnkcija gáma (tudi Eulerjeva funkcija gama[1]),je v matematiki specialna funkcija, ki razširja pojem fakultete na kompleksna števila. Zapisa se je domislil Adrien-Marie Legendre, funkcijo samo pa je uvedel Leonhard Euler. Če je realni del kompleksnega števila z pozitiven, potem integral:
![{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm {d} t\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79619d104b072cc713c0f3bf478b64ed19016040)
konvergira absolutno. Z integracijo po delih je moč pokazati, da velja:
![{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567fb663787afaeff6c42455dfbe9b1cc393904d)
Ker je Γ(1) = 1, odtod sledi:
![{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806cda32fcfbf84e3086ad7dd2ae9e743e3ce8d9)
za vsa naravna števila n. Z analitičnim nadaljevanjem je moč razširiti Γ(z) v meromorfno funkcijo definirano za vsa kompleksna
števila z razen z = 0, −1, −2, −3, ..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica.
Funkcija gama nima ničel. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je:
![{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d1330f69a85ed7b656bdee8b958a0244af1eae)
Funkcija gama ima pol reda 1 pri z = −n za vsako naravno število n; residuum je tam podan kot:
![{\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f4ce4985edc449c1f4ffdfed19ad6ad176064e)
Naslednja multiplikativna oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila z, ki niso nepozitivna cela števila:
![{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84edea382375035c89cefbf91e17ec0f0c4437f)
Tu je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.
Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(x\right)&={\frac {\Gamma \left(x+1\right)}{x}}={\frac {\Gamma \left(x+2\right)}{x\left(x+1\right)}}=\ldots \\&={\frac {\Gamma \left(x+k+1\right)}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\ldots \left(x+k\right)}}\!\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b25c61824b2200c20d6c9df6c8b0f74e9efeeb9)
od koder sledi, da ima funkcija pri negativnih celih argumentih in pri argumentu enakem 0 pole lihe stopnje.
Posebne vrednosti funkcije Γ[uredi | uredi kodo]
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2,363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3,545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1,772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0,886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1,329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3,323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86f10aee44451760c0af7966c53267584d6bb14)