Kvadrátno iracionálno števílo (redkeje tudi kvadrátni súrd) je v matematiki algebrsko iracionalno število, ki je rešitev kakšne kvadratne enačbe z racionalnimi koeficienti. Ker se lahko iz kvadratne enačbe ulomke poniči z množenjem obeh strani z njihovima skupnima imenovalcema, se lahko reče, da je kvadratno iracionalno število koren kvadratne enačbe:
![{\displaystyle kx^{2}+mx+n=0\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83aabccb44bc20ec9ed41cfb00d4215aed71ac7)
s celimi koeficienti
,
in
in z od nič različno diskriminanto
. Kvadratna iracionalna števila so oblike:
![{\displaystyle {\sqrt {c}},\qquad (c>1)\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93991b6e39bf852abd8ed66d6793a8a39e38183)
za cela števila c deljiva brez kvadrata. Vsako kvadratno iracionalno število pa se lahko v splošnem zapiše kot:
![{\displaystyle {\frac {a\pm b{\sqrt {c}}}{d}},\qquad a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\qquad (a,b>0,c>1,d\neq 0,d|a^{2}-c)\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ca9cf1a4d124fa64900098b3f44e492a2435f3)
kjer
ni popolni kvadrat.
To pomeni, da je moč njihove množice enaka množici urejenih trojic celih števil, in je zaradi tega števno neskončna.
Kvadratna iracionalna števila z danim
tvorijo obseg, ki se imenuje kvadratni obseg.
Verižni ulomki kvadratnih iracionalnih števil[uredi | uredi kodo]
Kvadratna iracionalna števila so posebna števila, še posebej v povezavi z verižnimi ulomki. Za vsa in edino za kvadratna iracionalna števila je razvoj v verižni ulomek periodičen. Na primer števila deljiva brez kvadrata:
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=1,4142\ldots =[1;2,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df089df596dbbb400e30e0336fa163e1b84f0fe)
![{\displaystyle {\sqrt {3}}=1,7320\ldots =[1;1,2,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab846ec4ad387a05b41bc9e54b050fa327da395f)
![{\displaystyle {\sqrt {5}}=2,2360\ldots =[2;4,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ce0ada29cf562ceed53d314abc36fcd422e711)
![{\displaystyle {\sqrt {6}}=2,4494\ldots =[2;2,4,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9deb3810c6f2a93b66b357a22e709d4c7f569e72)
![{\displaystyle {\sqrt {7}}=2,6457\ldots =[2;1,1,1,4,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04da8cc0051e9f5af53f821323cb48e327e3eb5f)
![{\displaystyle {\sqrt {10}}=3,1622\ldots =[3;6,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04c23cf8206c7bd26285dfbb4d045d5025bea3c)
![{\displaystyle {\sqrt {11}}=3,3166\ldots =[3;3,6,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345b6866540b0598172763abc2090da4b9a0240d)
![{\displaystyle {\sqrt {13}}=3,6055\ldots =[3;1,1,1,1,6,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff1b93c8f87565828269b3f1486664c706a34f3)
![{\displaystyle {\sqrt {14}}=3,7416\ldots =[3;1,2,1,6\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f9f4cc458ab6df9e8b9d7353a8617c081745ad)
![{\displaystyle {\sqrt {15}}=3,8729\ldots =[3;1,6,\ldots ]\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c28358e9d7677b35e2a46299bdaeb07f8f50d8)
ali števila deljiva s kvadratom, ki niso kvadratna števila (OEIS A051144):
![{\displaystyle {\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}=2,8284\ldots =[2;1,4,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745e4e2c893c49311a2379a1e8b55f018a51b984)
![{\displaystyle {\sqrt {12}}=2{\sqrt {3}}=3,4641\ldots =[3;2,6,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae76c94c2d6cc637b28d499badc4cc59833ddd2)
![{\displaystyle {\sqrt {18}}=3{\sqrt {2}}=4,2426\ldots =[4;4,8,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4e50e0995f13fb340c6948915a997bf1825a51)
![{\displaystyle {\sqrt {20}}=2{\sqrt {5}}=4,4721\ldots =[4;2,8,\ldots ]\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19399f0760428c0def990a070214fdb44bb24a93)
Vsi verižni ulomki kvadratnih korenov števil, ki niso popolni kvadrati, imajo posebno obliko periodičnosti, palindromni niz števk:
- prazen za števila oblike
(OEIS A002522):
,
,
,
,
,
,
,
, ..., od katerih so praštevila (OEIS A002496):
,
,
,
,
,
,
, ... in sestavljena (OEIS A134406):
,
,
,
,
,
,
,
, ...
- Za ta števila tako velja:
![{\displaystyle {\sqrt {c}}=[a_{0};{\overline {2a_{0}}}]\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9004f4c2d55ef13986fcf32c08a2c9679021c0f)
- na primer 1 za
, 1,1,1 za
, 1,2,1 za
, ki mu sledi dvakratnik vodilnega celega števila. Praštevila, ki niso oblike
, imajo neprazen niz (OEIS A070303):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, ...
V splošnem tako velja:
![{\displaystyle {\sqrt {c}}=[a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}]\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb4903b053eb306218b296812cf6c5e73af6d43)
Od zgornjih števil, katerih niz je prazen, so deljiva s kvadratom (OEIS A124809):
![{\displaystyle {\sqrt {50}}=7,0710\ldots =[7;{\overline {2\cdot 7}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386bdf40cf1b5d6b4091d7de6e7eb77d1042c279)
![{\displaystyle {\sqrt {325}}=18,0277\ldots =[18;{\overline {2\cdot 18}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6fe0e94424ec3c541edcfa2633c37814c2b1536)
![{\displaystyle {\sqrt {1025}}=32,0156\ldots =[32;{\overline {2\cdot 32}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3855ed221788bd9a3e16d76ec481770ee8e3fba)
![{\displaystyle {\sqrt {1445}}=38,0131\ldots =[38;{\overline {2\cdot 38}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887193d5c5cc692a5fd2ef1c76207c9592f6ae76)
itd.
Števila, katerih perioda se začne:
- z 2 (OEIS A065005):
,
,
,
,
,
,
, ...,
- s 3 (OEIS A065006):
,
,
,
,
,
,
, ...,
- s 4 (OEIS A065007):
,
,
,
,
,
,
, ...,
- s 5 (OEIS A065008):
,
,
,
,
,
,
, ...,
- s 6 (OEIS A065009):
,
,
,
,
,
,
, ...,
- s 7 (OEIS A065010):
,
,
,
,
,
,
, ...,
- z 8 (OEIS A065011):
,
,
,
,
,
,
, ...,
- z 9 (OEIS A065012):
,
,
,
,
,
,
, ...
Druga kvadratna iracionalna števila, kjer
ni kvadratno število:
![{\displaystyle (1+{\sqrt {2}})/2=1,2071\ldots =[1;4,1,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b648218b6044cba7e2a192ae58086599840319)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {3}})/2=1,3660\ldots =[1;2,1,\ldots ]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbd089d0a97bfcdd89d923fcaf7536a6d4dc993)
(število zlatega reza),
![{\displaystyle (1+{\sqrt {2}})/3=0,8047\ldots =[0;1,{\overline {4,8}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe79942def1ff68a2e93d7414225c2d60adbd29)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {3}})/3=0,9106\ldots =[0;1,{\overline {10,5}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5fac2488cd2bd9e53d4a07786688516807c396)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/3=1,0786\ldots =[1;{\overline {12,1,2,2,2,1}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0baee42458424e20287010a0acd933f3bf732f1)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {2}})/5=0,4828\ldots =[0;2,{\overline {1,4}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddfb1922ebbb5a1a6ca879a939176995b24d5d00)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {3}})/5=0,5464\ldots =[0;1,{\overline {1,4,1,7}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a852a61d903e3f6c546fc4bd601a95c20b4e8386)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/5=0,6472\ldots =[0;1,{\overline {1,1,1,5,22,5}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa27868883ebc109ddf307f45e64947f868a225)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/6=0,5393\ldots =[0;1,{\overline {1,5}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f718f9cdd7c73ee12951c211ac235850530a7c)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/7=0,4622\ldots =[0;2,{\overline {6,7,1,1,1,30,1,1,1,7}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d26e93a4ccee0432034313bba5174a6a21ac95)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/8=0,4045\ldots =[0;2,{\overline {2,8}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425d35b5d80d9c3a0d23a34e3343b9b1b6b882e0)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/9=0,3595\ldots =[0;2,{\overline {1,3,1,1,3,9}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4becf071f33ba100b09b81ef18bc938168573b)
![{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/10=0,3236\ldots =[0;3,{\overline {11}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308c0f04d994026b4ab40ae36de8364797c04ba9)
![{\displaystyle (2+{\sqrt {5}})/2=2,1180\ldots =[2;{\overline {8,2}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4263decf5a9639f97fe08ababc2e5c66d98e5392)
![{\displaystyle (42+{\sqrt {2}})/42=1,0336\ldots =[1;29,{\overline {1,2,3,6,3,2,1,58}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8137edfd4a7d40aa7aefd799e8eac646a8a65102)
![{\displaystyle (42+{\sqrt {42}})/42=1,1543\ldots =[1;6,{\overline {2,12}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8e7a795f269a5e80b4ac36901006d813247431)
![{\displaystyle (4242+{\sqrt {4242}})/4242=1,0153\ldots =[1;65,{\overline {7,1,1,1,8,1,1,1,7,130}}]\!\,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0805197c5262d5da80bb70821f0fd66451002fc0)
Če je
kvadratno število in
, je dano število racionalno, njegov verižni ulomek pa je seveda končen. Na primer:
![{\displaystyle (2+{\sqrt {4}})/5=4/5=0,8=[0;1,4]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c211c3ad67cd3029eac45dc54a85a7e3846c001c)
![{\displaystyle (41+{\sqrt {1764}})/42=83/42=1,9{\overline {761904}}=[1;1,41]\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2697b01a0a5641d1b7b8bafba7c4058f8a82f670)
To dejstvo periodičnosti členov verižnih ulomkov sta dokazala Lagrange (1770) in Legendre, pred njima pa je obrat dokazal Euler z analizo popolnih količnikov periodičnih verižnih ulomkov – če je ζ pravi periodični verižni ulomek, je ζ kvadratno iracionalno število. Iz samega verižnega ulomka je moč konstruirati kvadratno enačbo s celimi koeficienti, za katere velja ζ.
![{\displaystyle (1+2{\sqrt {2}})/2=1,9142\ldots =[{\overline {1;1,10,1}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523e6907da16a78c4643426e77dafdfcff00b9a2)
![{\displaystyle (1+2{\sqrt {3}})/2=2,2320\ldots =[2;{\overline {4,3}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b13f5bc7331bb3adc549e88bf8217e52b23c061)
![{\displaystyle (1+2{\sqrt {2}})/3=1,2761\ldots =[{\overline {1;3,1,1,1,1}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10faa5e7c173fa2fa485c83056c463018a592d9)
![{\displaystyle (1+2{\sqrt {3}})/3=1,4880\ldots =[{\overline {1;2,20,2,1,1,4,1}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910927ec58372a0255b26a4b2723495131489d10)
![{\displaystyle (1+3{\sqrt {2}})/2=2,6213\ldots =[2;{\overline {1,1,1,1,1,3}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a484108d0a97df40db834d711b4d80ab888c859)
![{\displaystyle (1+3{\sqrt {3}})/2=3,0980\ldots =[3;{\overline {10,5}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf83dadd335bee65898cc799e81412d33e339400)
![{\displaystyle (1+3{\sqrt {2}})/3=1,7475\ldots =[1;{\overline {1,2,1,24,1,2,1,2,12,2}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be189a5e24a1d661f6e454dcde83295c60967f04)
![{\displaystyle (1+3{\sqrt {3}})/3=2,0653\ldots =[2;{\overline {15,3,2,1,1,30,1,1,2,3}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1ea23aeab5bc4267b565803a02cd47fb9be9af)
![{\displaystyle (1+2{\sqrt {3}})/4=1,1160\ldots =[{\overline {1;8,1,1,1,1,1,1}}]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b6abb68cc5c4cd025834ba3c939b5ab4a5a5f4)
![{\displaystyle (2+3{\sqrt {5}})/7=1,2440\ldots =[{\overline {1;4,10,4,1,1,2,18,2,1}}]\!\,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc1741db85fc78a3d814489598f98716064135f)
Poseben primer kvadratnih iracionalnih števil so rešitve Fermat-Pellove enačbe.