Norma matrike je v matematiki razširitev pojma norme vektorja na matrike.
Označimo s
obseg realnih ali kompleksnih števil. S
pa označimo vektorski prostor matrik z razsežnostjo
v
.
Norma matrike
, ki jo označimo z
je vektorska norma na
z lastnostmi:
če je
in
, če in samo, če je ![{\displaystyle A=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f374562a5562eb706358fada02dee01960be1a)
za vse
v
in vse matrike
v ![{\displaystyle K^{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a40b12a6c68466431891e4ad965fe811743d714)
za vse matrike
in
v ![{\displaystyle K^{m\times n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f108e1437f1c08d0301db1c5e5f6332124a017e)
.
Tudi matrikam lahko določimo p normo, ki odgovarja vektorski p-normi. Ta je določena kot
.
Če pa je
ali lahko normi izračunamo po obrazcu
. To pa je največja absolutna vrednost vsote stolpcev matrike.
Kadar pa je
, dobimo normo s pomočjo
. To pa je največja absolutna vrednost vrstic matrike.
Primer:
Imamo matriko
.
Za normo
dobimo
.
Norma
.
Kadar pa je
(Evklidska norma) in je matrika kvadratna (
), se norma imenuje spektralna norma.
Spektralna norma matrike
je največja singularna vrednost ali kvadratni koren največje lastne vrednosti pozitivno definitne matrike
![{\displaystyle \left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\text{max}}(A^{^{*}}A)}}=\sigma _{\text{max}}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7c2e574bf8bd3dfd96b417422e45c024a70b9e)
kjer je
Norna matrike
iz
za
se imenuje Frobeniusova norma
![{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} (A^{{}^{*}}A)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,\,n\}}\sigma _{i}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4447a8208852efe519867fe067bb32af3342d4f)
kjer je
Norma se imenuje po nemškem matematiku Ferdinandu Georgu Frobeniusu (1849 – 1917). Včasih jo imenujejo tudi Hilbert-Schmidtova norma.