Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Cauchyjeva matríka [košíjeva ~] je matrika z razsežnostjo
, ki ima elemente v obliki:
![{\displaystyle c_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e0c916ed79e922bf83dd651759e2615aea4bfd)
kjer je:
element obsega
, elementi se med seboj razlikujejo
element obsega
, elementi se med seboj razlikujejo
Cauchyjeva matrika je posebni primer Hilbertove matrike, kjer je:
![{\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b35457228df5356cfa7f412fc092e3a98cad4c1)
Vsaka podmatrika Cauchyjeve matrike je tudi Cauchyjeva matrika.
Imenuje se po francoskem inženirju in matematiku Augustinu Louisu Cauchyju (1789 – 1857).
Determinanta Cauchyjeve matrike se določi po naslednjem obrazcu:
![{\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76211323b650cb5f00d049eb98a06e3b09069a7f)
Determinanta je vedno neničelna, kar pomeni, da je Cauchyjeva matrika obrnljiva. Elementi obrnjene matrike
so enaki:
![{\displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0a6f9f0e552ad313fd0eda0b7e13d1a30c20b0)
kjer je:
Lagrangeev polinom za ![{\displaystyle x_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7beb41cde977577a7aa598a9defd58dc8d529bb8)
Lagrangeev polinom za ![{\displaystyle y_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c4b4ad4b5a2512adc2ef93cb40ae6da4b0dcba)
- kar je enako
![{\displaystyle A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{in}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32b4e346e31a1f8b8dbf3ef3c343828a35c1859)
- in kjer je:
.
Vsaka matrika
je Cauchyjevi podobna, če imajo njeni elementi obliko:
![{\displaystyle c_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c103499773912d8ecc9adc994db37282ec6426d0)